jueves, 18 de noviembre de 2010

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES *TRANSITIVA*

Relación transitiva

Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:

   \forall a, b, c \in \mathbb{A}:
   \quad  aRb \quad \and \quad  bRc
   \longrightarrow \quad
   aRc
Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Ejemplos
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:

   \forall a, b, c \in \N :
   \quad a \le b \quad \and \quad b \le c
   \longrightarrow \quad
   a \le c
Así, puesto que:

   2, 5, 7 \in \N :
   \quad 2 \le 5 \quad \and \quad 5 \le 7
   \longrightarrow \quad
   2 \le 7
En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

   \forall a, b, c \in \N :
   \quad a | b \quad \and \quad b | c
   \longrightarrow \quad
   a | c
Si para todo valor a, b, c numero natural: a divide a b y b divide a c entonces a divide a c
Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces
Se cumple X \not\subset Y y  Y\not\subset Z pero no se cumple  X\not\subset Z puesto que X es subconjunto de Z.
Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

Se dice que S es una relacion transitiva cuando se cumple: si mSn y
nSp

R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de
elementos de él satisface lo siguiente:
a R b ð b R c ð a R c
Ejemplo:
A = { 1 , 2 , 3 }
R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }

Teorema. R es antisimétrica en A Û R · R-1 Ì IA.
 Relación transitiva. R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que:
Sí x R y Ù y R z, entonces x R z.
En consecuencia:
  • R es transitiva en A equivale a decir:
R Ì A x A Ù (" x)(" y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ x R z)
  • R no es transitiva en A equivale a decir:
R Ë A x A Ú ($ x)( $ y)($ z) ( x R y Ù y R z Ù x z).
Ejemplo 
I A es transitiva en A.
Ejemplo
Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en A.
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.
Ejemplo
La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x |y} es transitiva en N.

En matemáticas, a relación binaria R sobre a sistema X es transitivo si sostiene para todos a, b, y c en X, eso si a se relaciona con b y b se relaciona con c, entonces a se relaciona con c.
Para escribir esto adentro lógica del predicado:
 
Por ejemplo, la relación “mayor que” es transitiva:
Si A > B, y B > C, entonces A > C.


Por ejemplo, “es mayor que,” “es por lo menos tan grande como,” y “es igual a” (igualdad) son las relaciones transitivas:
siempre que A > B y B > C, entonces también A > C
siempre que ≥ B de A y ≥ C, entonces también ≥ C de B de A
siempre que A = B y B = C, entonces también A = C
Por una cierta hora, los economistas y los filósofos creyeron que la preferencia era una relación transitiva sin embargo allí ahora es las teorías matemáticas que demuestran que las preferencias y otros resultados económicos significativos pueden ser modelados sin el recurso a esta asunción.
Por otra parte, “es la madre de” no es una relación transitiva, porque si Alicia es la madre de Brenda, y Brenda es la madre de Claire, después Alicia no es siempre la madre de Claire. Cuál es más, es antitransitive: Alicia puede nunca sea la madre de Claire.
Entonces otra vez, en biología necesitamos a menudo considerar maternidad sobre un número arbitrario de generaciones: la relación “es a matrilinear antepasado de ". Esto es una relación transitiva. Más exacto, es encierro transitivo de la relación “está la madre de”.
Más ejemplos de relaciones transitivas:

Características del encierro

El inverso de una relación transitiva es siempre transitivo: e.g. está sabiendo que “a subconjunto de " es transitivo y “es a sobreconjunto de " está su inverso, nosotros puede concluir que el último es transitivo también.
La intersección de dos relaciones transitivas es siempre transitiva: estamos sabiendo que “fue llevado antes de que” y “tenga el mismo nombre que” transitivo, podemos concluir que “fue llevado antes y también tiene el mismo nombre que” también transitivo.
La unión de dos relaciones transitivas no es siempre transitiva. Por ejemplo “fue llevado antes o tiene el mismo nombre que” no está generalmente una relación transitiva.
El complemento de una relación transitiva no es siempre transitivo. Por ejemplo, mientras que el “igual a” es transitivo, “no el igual a” es solamente transitivo en sistemas con a lo más dos elementos.

Características de la transitividad

Para una relación transitiva los siguientes son equivalentes:

Otras características que requieren transitividad

Cuenta de relaciones transitivas

Desemejante de otras características de la relación, ningún fórmula general que cuenta el número de relaciones transitivas en un sistema finito (secuencia A006905 en OEIS) se sabe.[1] Sin embargo, hay un fórmula para encontrar el número de las relaciones que son simultáneamente reflexivas, simétricas, y transitivas - es decir relaciones de equivalencia - (secuencia A000110 en OEIS), los que son simétricos y transitivos, los que son simétricos, transitivos, y antisimétricos, y los que son totales, transitivos, y antisimétricos. Pfeiffer[2] ha hecho un cierto progreso en esta dirección, expresando relaciones con combinaciones de estas características en términos de uno a, pero todavía calcular es difícil. Vea también[3].
Número de n- relaciones binarias del elemento de diversos tipos
ntodostransitivoreflexivopreorderorden parcialel total preorderorden totalrelación de equivalencia
011111111
122111111
21613443322
35121716429191365
46553639944096355219752415
OEISA002416A006905A053763A000798A001035A000670A000142A000110


entonces mSp.

6 comentarios:

  1. una relacion binaria es transitiva cuando dada los elementos a, b, c del conjunto si esta relacionado con la b y b esta relacionado con C.
    por ejemplo:
    mayor que:
    si A> B, y B>C, entonces A>C

    equipo 5 de Mate Discretas equipo 5

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  2. Sea R una relacion sobre el conjunto A={1,2,3} y R=(1,2),(2,1),(3,1),(2,2,)(3,2), donde R no es transitiva porque, los pares (1,2)y(2,1)pertenecen a R pero el par (1,1)no pertenece a R.

    Rt=RuR2=(1,1)(1,2),(2,1),(3,1),(2,2,)(3,2)

    En general:sea

    R una relacion sobre A; donde cardA=m,

    Rt=RuR2uR3……….Rm

    Espero esta informacion les sea utili para el desarrollo de las matemáticas discretas

    vicktacho ingeniero de sistemas cecar sincelejo sucre colombia.
    EQUIPO 2(Martinez de la Cruz Rodolfo,Hernandez Gabriel Juan Carlos,Ignasio Martinez,Gabriela Norberto Cruz,Gonzalez Teran
    Edith Monserrat.
    ´´´´¶´¶¶´¶¶__KrEo
    ´´´´´´´´´¶¶¶¶´´´´´´¶¶¶¶¶¶__Ke Me
    ´´´´´´´¶¶´´´´´´´´´´´´´´´´¶¶__PaReCiO
    ´´´´´¶¶´´´´´´´´¶¶´´´´´´´´´´¶¶_ VeR
    ´´´¶¶´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´¶¶__UnA
    ´´¶¶´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´¶¶__LiNdA
    ´´¶´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´¶´¶__FoTiTo
    ´¶´´´´´´´´´´´´´´´´¶´´´´´´´´´´´´´¶__SaLuDoS
    ´¶´´´´´´´´´´´´´¶¶¶¶´´´´´´´´´´´´´´¶_
    ´¶´´´´´´´´´´´´¶¶´¶´´´´´´´´´´´¶´´´¶__PaSE Y
    ´¶´´´´´´´´´´¶¶¶¶¶¶´´´´´´´¶¶¶¶´´´´¶__Te DeJe
    ´¶´´´´´´´´´¶¶¶¶¶¶¶´´´´´´¶¶´´¶´´´´¶__MiLeS
    ´´¶´´´´´´´´¶¶¶¶¶´¶´´´´´¶¶¶¶¶¶´´´¶__AbRaZoS
    ´´¶¶´´´´´´´¶´´´´´¶´´´´¶¶¶¶¶¶´´´¶¶__Y MuChOs
    ´´´¶¶´´´´´´¶´´´´¶´´´´¶¶¶¶´´´´´¶__BeSoS
    ´´´´¶´´´´´´¶´´´¶´´´´´¶´´´´´´´¶__bESoS
    ´´´´¶´´´´´´¶¶¶¶´´´´´´´´´¶´´¶¶__BeSoS
    ´´´´¶¶´´´´´´´´´´´´´´´¶¶¶´´¶__bezos
    ´´´´´¶¶¶´´´´´´´¶¶¶¶¶´´´´´´¶__Bezos
    ´´´´´´´´¶¶¶´´´´´¶¶´´´´´´´¶¶__y También
    ´´´´´´´´´´´´¶¶´´´´´¶¶¶¶¶¶´__SaLuDoS
    ´´´´´´´´´´¶¶´´´´´´¶¶´¶_______Se KuIdAn
    ´´´´´´´¶¶¶¶´´´´´´´´¶´¶¶
    ´´´´´´´´´¶´´¶¶´´´´´¶´´´¶______BaStAnTe
    ´´´´¶¶¶¶¶¶´¶´´´´´´´¶´´¶´
    ´´¶¶´´´¶¶¶¶´¶´´´´´´¶´´´¶¶¶¶¶¶¶__pasa por mi blog

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  3. MARIZELA DE LA CRUZ....

    RELACION TRANSITIVA
    _ Para un conjunto A, una relación R sobre
    A es transitiva si para todos x, y, z є A
    (x, y), (y, z) є R ) (x, z) є R (Así, si x “está
    relacionado con" y, y y está relacionado con" z,
    queremos que x esté relacionado con" z, donde
    y tiene el papel de intermediario".)
    _ Una relación es transitiva si y solo si M2 ≤ M.

    BUEN TRABAJO CHICOZ

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  4. una relacion es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

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  5. Relación transitiva
    En matemáticas, a relación binaria R sobre a sistema X es transitivo si sostiene para todos a, b, y c en X, eso si a se relaciona con b y b se relaciona con c, entonces a se relaciona con c.

    Para escribir esto adentro lógica del predicado:

    Por ejemplo, la relación “mayor que” es transitiva:

    Si A > B, y B > C, entonces A > C.

    chido trabajo Atte: equipo 1

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    ResponderEliminar
  6. Equipo N°7

    las relaciones trasintivas son todas aquellas que cumplen con la funcion o comdicion de que si X>y entonses Y>Z por lotanto se dise que X>Z y de caso contrario no podria ser tracitiva en como decir
    juan=9
    markos=16
    pedro=13
    esdesir j<P si es si entos P<M porlotanto J<M
    pero tan bien hay otros casos de trasitividad que aveses no sepueden cumplir puesto que la trasitividad aveses no es muy cuerente y si no tiene coerencia so se puede a ser la transitividad por que quedaria muy y logico pero eso solo es en algunos casos no entodos.

    es muy importante que se siga la condicion puesto que si no se cumple no sera trasintivo

    int:
    Gonzalo Garcez Cruz
    Gonzales HErnandes Francisco Agustin
    Anastacion Morales Janeth
    Macario Cervantes Fernand

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